“刽子手悖论”之消解

张铁声

（青岛滨海学院，山东青岛266555）

摘  要：消解强化的与再强化的“刽子手悖论”之要点为：1、法官之判决涉及对囚徒认知状况之预言，故囚徒就判决所作之论证应作为判断判决能否被执行之依据；2、囚徒之论证不可靠；3、该论证依赖于一个错误的认知原则；4、其错误之根源在于，误以为推得一命题必然意味着知道该命题。

关键词：认知悖论；刽子手悖论；知道者悖论

中图分类号：B815.3  文献标识码：A  文章编号：

1．引 言

所谓“刽子手悖论”与 “意外考试悖论”、“求婚者悖论”一样，同为“意外演习悖论”之变体。鉴于研究此类“认知悖论”的几篇经典文献主要是围绕“刽子手悖论”展开讨论的，为方便计，本文将遵循这一传统。

“刽子手悖论”实际上有三种版本：原始的、强化的、再强化的。1953年，蒯因(W.V.Quine)即已发现原始的“刽子手悖论”之逻辑漏洞，并使得相关讨论就此沉寂数年之久。然而，肖(R.Shaw)却指出，蒯因实际上曲解了“悖论”中法官判决之真义。有鉴于此，肖对判决重加阐释，提出了“刽子手悖论”的强化版本。此后，蒙塔古(R.Montague)和卡普兰(D.Kaplan)又在此一阐释的基础上对判决继续加以改进，形成了“刽子手悖论”的再强化版本^[1]。

与原始的“刽子手悖论”不同，强化的与再强化的“刽子手悖论”似乎一直没有公认的解法，本文宗旨即在于揭示此二版本中隐含的逻辑错误。在第2节，我们将介绍原始的“刽子手悖论”，并重温蒯因解法之要点。在第3、4节，我们将分别介绍强化的、再强化的“刽子手悖论”，并给出相应的消解方法。

2．原始的“刽子手悖论”及其消解

“刽子手悖论”的原始版本可简述如下：法官于周日判决，某囚徒将于下周前三天，亦即周一、周二或周三的正午被绞死（仅能行刑一次），并且，直至行刑之日正午以前，囚徒不知道将在该日正午行刑。囚徒就此进行推理，所得结论为：该判决不可能被执行。然而，刽子手却又由此证明，该判决能够被执行。

囚徒的推理过程大致如下：

（1）首先，可以证明，即便该判决被执行了，也不会在周三正午行刑。不妨假定判决果真被执行了，且行刑时间为周三正午，则我在周二下午即可知道，周一、周二正午皆未行刑。于是，我便可以由此推知，行刑时间只能是周三正午。然而，这样一来，行刑之日正午以前我即已知道何时行刑，这显然与判决之所言相矛盾。于是便有，判决为真与周三正午行刑不可能同时为真。这显然意味着，即便该判决被执行了，也不会在周三正午行刑。

（2）其次，可以证明，即便该判决被执行了，也不会在周二正午行刑。这是因为，由（1）可知，即便该判决被执行了，也不会在周三正午行刑。于是便有，如果判决被执行，只能是在周一或周二正午行刑。不妨假定判决果真被执行了，且行刑时间为周二正午，则我在周一下午即可知道，周一正午未行刑。于是我便可由此推知，行刑时间为周二正午。然而，这样一来，行刑之日正午以前我即已知道何时行刑，这显然与判决之所言相矛盾。所以，判决为真与周二正午行刑亦不可能同时为真。这显然意味着，即便该判决被执行了，也不会在周二正午行刑。

（3）同理可证，即便该判决被执行了，也不会在周一正午行刑。

于是便有，如果该判决被执行了，也绝不会是在周一、周二或周三的正午行刑。这就引出了新的矛盾。由此可见，该判决不可能被执行。

尽管如此，刽子手却不难证明，在周一、周二或周三任何一天正午行刑，都会使判决得以兑现。这是因为，对于作如上思考的囚徒而言，无论在哪一天正午行刑都将是他始料不及的。

依照蒯因的见解，囚徒的推理绝非无懈可击。事实上，其论证的第一步——关于即便判决为真也不会在周三行刑的证明就不能成立。下面就让我们围绕囚徒论证的第一步展开讨论。

依照蒯因的简明处理方法，法官在周日宣布的判决（D₁）是要满足下列三项要求之一：（1）囚徒K在周一正午而不是周二或周三的正午被绞，而且K在周日下午不知道“K在周一正午被绞”为真；（2）K在周二正午而不是周一或周三的正午被绞，而且K在周一下午不知道“K在周二正午被绞”为真；或（3）K在周三正午而不是周一或周二正午被绞，而且K在周二下午不知道“K在周三正午被绞”为真。

令M、T和W分别代表“K在周一正午被绞”、“K在周二正午被绞”和“K在周三正午被绞”。令Ks、Km、Kt分别表示公式“K在周日下午知道语句x为真”、“K在周一下午知道语句x为真”、“K在周二下午知道语句x为真”。Ks、Km和Kt中的变项x可用许多语句名称替换。若E代表任一表达式，令〈E〉为依据某种约定而给出的E的标准名称。例如，可以把〈E〉解释为将E所代表的表达式置于引号中的结果。于是，Ks（〈M〉）便是语句“K在周日下午知道语句‘K在周一正午被绞’为真”。

依照上述约定，法官的判决D₁可表示如下：

    [M∧～T∧～W∧～Ks（〈M〉）]∨[～M∧T∧～W∧～Km（〈T〉）]∨[～M∧～T∧W∧～Kt（〈W〉）]

为了进一步描述囚徒的推理，有必要增加几个约定。可以用符号├ 表示在初等语法^[2]内的逻辑可导出关系。于是，若S₁和S₂均为语句，S₁├ S₂当且仅当S₂是从S₁据初等语法可导出的（或者说S_l逻辑地蕴涵S₂）；类似地，我们说├S₂  ，恰当S₂在初等句法中是可证明的。蒙塔古和卡普兰补充说，“由哥德尔的工作已知，初等语法中的可导出关系是初等语法自身可表达的。据此，我们令I为初等语法公式，包含x和y作为它仅有的自由变项，该公式以‘自然方式’表示‘x逻辑地蕴涵y’。若 E₁和E₂是任意表达式，则I(E₁，E₂)即为在I中 x置换为E₁，y置换为E₂的结果。这样，表达式S₁├ S₂可用语句I（<S₁>，<S₂>）在初等语法中表达。”

现在让我们审视一下，囚徒K关于即便判决为真也不会在周三行刑的证明究竟有何漏洞。

不妨假定判决为真，且行刑时间为周三正午。于是就有，K在周二下午知道周一和周二正午皆未行刑（亦即有Kt（<～M∧～T>））。由于从周一、周二正午皆未行刑可推出周三正午行刑（亦即I（<～M∧～T>,<W>）），所以，K周二下午便可（推得并因而）知道周三正午行刑（亦即Kt（<W>））。然而，在上述假设下，显然又有，K周二下午并不知道周三正午行刑（亦即～Kt（〈W〉））。矛盾。故判决为真与周三正午行刑不可能同时成立。于是便有，即便判决为真也不会在周三正午行刑。

据分析，K的这部分论证系以以下两个关于知识的假定或曰认知原则为依据：

    （A₁）［～M∧～T］→Kt（<～M∧～T>）

    （A₂）［I（<～M∧～T>,<W>）∧Kt（<～M∧～T>）］ →Kt（<W>）

它们被分别用于推出Kt（<～M∧～T>）和Kt（<W>）。

然而，正如蒯因所指出的，应用 A₂需要有“～M∧～T逻辑地蕴涵 W”，亦即I（<～M∧～T>,<W>）。尽管K对此坚信不疑，但事实却并非如此。实际上，真正成立的是I（<～M∧～T∧D₁>,<W>）），而不是I（<～M∧～T>,<W>）。由此可见，K的上述论证至少犯有盗用假前提——I（<～M∧～T>,<W>）的错误。仅此一端便足以断言，K的上述推理实际上并不可靠。

附带说一句，A₁似乎没有什么问题，但 A₂却十分可疑。其前件虽足以保证K周二下午推得W，但这未必意味着K周二下午知道W。由“推得”过渡到“知道”实际上依赖于这样一个信念：推得一命题必然意味着知道该命题。正如我们在此后两节即将见到的，这一信念乃是错误的。

    分析至此，我们已经清楚地看到，K的论证的第一步就不能成立，故而该“悖论”实际上已被消解。

3．强化的“刽子手悖论”及其消解

然而，肖却对蒯因的方案提出了异议。在他看来，蒯因完全忽略了判决的自涉性质，从而将问题简单化了。他指出，刽子手问题的悖论意味，来自判决中的一种自我指称要素，但这种要素并没有体现在蒯因的公式化之中。

简言之，依照肖，法官的判决实际上应有如下述：囚徒K将于下周前三天，亦即周一、周二或周三的正午被绞死（仅能行刑一次），并且，直至行刑之日正午以前，囚徒K不知道基于本判决K将于该日正午被绞 。换言之，在肖看来，判决实际上应为：或者（1）K在周一正午而不是在周二或周三正午被绞，而且K周日下午并不知道基于本判决“K在周一正午被绞”为真；或者（2）K在周二正午而不是在周一或周三正午被绞，而且K周一下午并不知道基于本判决“K在周二正午被绞”为真；或者(3)K在周三正午而不是在周一或周二正午被绞，而且K周二下午并不知道基于本判决“K在周三正午被绞”为真。

该判决的形式化表示为：

[M∧～T∧～W∧～Ks（〈D₂→M〉）]∨[～M∧T∧～W∧～Km（〈D₂→T〉）]∨[～M∧～T∧W∧～Kt（〈D₂→W〉）]

其中，D₂系指该判决本身。于是便有：

D₂←→[M∧～T∧～W∧～Ks（〈D₂→M〉）]∨[～M∧T∧～W∧～Km（〈D₂→T〉）]∨[～M∧～T∧W∧～Kt（〈D₂→W〉）]

    正如蒙塔古和卡普兰所指出的，即使只考虑两个可能的行刑日期（周一和周二），D₂的有关性质也都可以保持。因此，为简便计，我们将针对如下的D₃展开讨论:

(1)├ D₃←→[M∧～T∧～Ks（〈D₃→M〉）]∨[～M∧T∧～Km（〈D₃→T〉）]

尽管法官的判决业已经过“强化”，K似乎仍能证明D₃是不能被执行的。其论证十分类似于原始的“刽子手悖论”中囚徒的论证:K首先排除周二而后排除周一成为行刑日期的可能，并由此得出判决不能被执行的结论。K的推理过程大致如下：

首先可以证明，即便该判决被执行了，也不会在周二正午行刑。这是因为，假定判决被执行了，并且行刑时间为周二正午。那么，我在周一下午即可知道，周一正午未行刑。由于由周一正午未行刑可推得如果判决为真则周二正午行刑，所以，我在周一下午便可知道，如果判决为真则周二正午行刑。然而，这样一来，行刑之日正午以前我即已知道如果判决为真则该日正午行刑，这显然与判决之所言相矛盾。所以，判决为真与周二正午行刑不可能同时为真。这显然意味着，即便该判决被执行了，也不会在周二正午行刑。

其次，可以证明，即便该判决被执行了，也不会在周一正午行刑。不妨假定，判决果真被执行了，并且行刑时间为周一正午。由前述证明可知，即便该判决为真，行刑时间也不会是周二正午。于是，我在周日下午便可推知，如果判决为真只能是在周一正午行刑。可是这样一来，我在行刑之日正午以前即已知道，如果判决为真则在该日正午行刑，这显然与判决之所言相矛盾。由此可见，判决为真与周一正午行刑亦不可能同时为真。这显然意味着，即便该判决被执行了，也不会在周一正午行刑。

综上所述便有，即便该判决被执行了，也不会在周一和周二正午行刑。显然，这会引出新的矛盾，故又有，该判决不可能被执行。

然而，不难看出，正由于囚徒K的认知结构使其作如是想，刽子手无论是在周一或周二正午行刑，都会使判决得到不折不扣的兑现：K在行刑之日正午以前实际上并不知道如果判决为真则于该日正午行刑；正恰相反，他所知道的反倒是，即便判决为真也不会在该日正午行刑。

如此说来，囚徒K的推理肯定有误。问题在于，究竟错在何处？仔细审视过后便可发现，原来，是K所依赖的认知原则或者说关于知识的假定出了问题。事实上，K的论证的第一步即用到了如下认知原则：

如果K周一下午知道周一正午未行刑，并且由周一正午未行刑又可推出如果判决为真则周二正午行刑，那么，K周一下午便知道，如果判决为真则周二正午行刑。

可以证明，这条认知原则乃是错误的。

不妨假定，周二正午K果真被绞死了。那么，K周一下午又会处于何种认知状况呢？显然，K将依然抱着他在周日即已推出的结论不放，误以为即便判决为真也不会在周二正午行刑。此时，他显然并不知道如果判决为真则周二正午行刑。也就是说，如下命题为假：“K周一下午知道如果判决为真则周二正午行刑。”然而请注意，与此同时，如下两个命题却是真的：“K周一下午知道周一正午未行刑”以及“由周一正午未行刑可推出如果判决为真则周二正午行刑”。K的上述认知原则断言，如果后面两个命题为真则前一个命题——“K周一下午知道如果判决为真则周二行刑”必为真。然而，我们的论证却表明，即便后两个命题为真，前一个命题也可以为假。由此可见，K所依赖的的上述认知原则乃是错误的。

如此说来，K的论证根本就不是什么无懈可击，而是从一开始就在“将错就错”。

于是，正如蒯因对于原始的“刽子手悖论”曾经做过的那样，我们业已表明，K之论证的第一步就是错误的。

蒙塔古和卡普兰依据肖的见解，对囚徒K的推理过程作过形式化的描述。我们现在必须从中找出相应的错误。

K的认知结构包括关于知识的假定以及“初等语法”。其中，关于知识的假定有：

   （B₁）～M→Km（〈～M〉）

(B₂) [I(<～M>,< D₃→T>)∧Km(<～M>)]→Km(<D₃→T>)

(B₃) Ks(<B₁∧B₂>)

(B₄) [I(<B₁∧B₂>,< D₃→M>)∧Ks(<B₁∧B₂>)]→Ks(<D₃→M>)

K的论证的第一步首先排除了周二行刑之可能性，亦即推出了下式：

B₁∧B₂├ D₃→～T

不难看出，B₂正是我们业已批驳过的K的上述认知原则的形式化表示，因而是不能成立的。一如上述，即便有I(<～M>,< D₃→T>)以及Km(<～M>)，也未必有Km(<D₃→T>)。

既然B₂是假的，并由此波及另外两个认知原则（B₃ 和B₄），K的整个形式化推理也就丧失了可靠性。

令人惊异的是，为什么K竟会奉行上述认知原则，而人们又难以发现它是错误的呢？这是因为，在I(<～M>,< D₃→T>)和Km(<～M>)的条件下，囚徒K于周一下午的确可以推得D₃→T。然而，往往为人们所忽视的是，K周一下午推得D₃→T并不必然意味着K周一下午知道D₃→T。我们已经看到，K的认知结构使其在周日即已得到D₃→～T的结论。此一结论虽说是在周日得出的，但K的特定的认知结构无疑会使K直到周一下午仍然坚持（甚或再次重复推出）同一结论。这显然意味着Km(<D₃→～T>)，而不是Km(<D₃→T>)。也就是说，K周一下午实际上并不知道D₃→T。“推得”并不必然意味着“知道”，K的失足之处正在于此。

令人啼笑皆非的是，正是坚持认为在相应条件下必有Km(<D₃→T>)的B₂导致了～Km(<D₃→T>)的后果。我们在K的论证中可以见到，在I(<～M>,< D₃→T>)和Km(<～M>)的条件下，K基于B₂误以为“推得”必然意味着“知道”，从而得到Km(<D₃→T>)。然而，这又使其在判决为真且周二行刑的假定下推出了矛盾，从而得出了D₃→～T的结论。也正因为如此，即便I(<～M>,< D₃→T>)和Km(<～M>)为真，Km(<D₃→T>)也不成立。

4．再强化的“刽子手悖论”及其消解

蒙塔古和卡普兰对于肖提出的强化的“刽子手悖论”虽表示欣赏，却又有所不满。他们指出，“肖先生认为，他的判决具有真正的悖论性，而不是具有执行的不可能性。然而在我们看来，并没有充分的理由支持这一点。” 为此，他们进一步修改了法官的判决，使得非但囚徒K可以证明该判决不能被执行，而且刽子手还可以证明，该判决一定会被执行。如果说，在原始的以及强化的版本中，矛盾表现为，判决既是假的却又可以是真的，那么，在这个再强化的版本中，矛盾似乎变得更加尖锐了：判决既是假的又是真的。

在蒙塔古和卡普兰手中，法官的判决被弄成了如下模样：

    除非K在周日下午知道本判决是假的，否则下述要求将被满足：（1）K在周一正午而不是在周二正午被绞，而且周日下午K并不知道基于本判决“K在周一正午被绞”为真；或者(2)K在周二正午而不是在周一正午被绞，而且周一下午K并不知道基于本判决“K在周二正午被绞”为真。

可以用语句D₄表达上述判决：

（1）├D₄←→[Ks（〈～D₄〉）] ∨[M∧～T∧～Ks（〈D₄→M〉）]∨[～M∧T∧～Km（〈D₄→T〉）]

显然，囚徒K不难证明，本判决（D₄）与“K在周日下午知道本判决是假的”（Ks（〈～D₄〉））不可能同时为真。这是因为，假定果真如此，由“K在周日下午知道本判决是假的”便可推出本判决为假（～D₄），这显然与本判决为真相矛盾。

由此即有，判决为真实际上只能是下述要求被满足：（1）K在周一正午而不是在周二正午被绞，而且周日下午K并不知道基于本判决“K在周一正午被绞”为真；或者(2)K在周二正午而不是在周一正午被绞，而且周一下午K并不知道基于本判决“K在周二正午被绞”为真。

于是，囚徒K便可像在强化的版本中曾经做过的那样，先证即便判决为真行刑时间也不会是周二正午，再证即便判决为真行刑时间也不会是周一正午。最后便可证得，判决为假，亦即判决根本不可能被执行。

然而，刽子手却可以论证说，K的上述推理恰恰表明，K在周日下午即已知道本判决为假。由于这种可能性恰恰是判决自身业已估计到的，于是又有，本判决为真。

显然，基于与上一节类似的理由，K关于本判决为假的论证是不能成立的。进一步，刽子手基于这一论证所做的关于本判决为真的论证自然也不能成立。

不过，蒙塔古和卡普兰关于K的论证的形式化描述与上面给出的自然语言描述不尽相同。下面，我们将针对这种形式化描述展开讨论。

蒙塔古和卡普兰将K的认知原则概括为以下8条：

    （C₁）Ks（<～D₄>）→～D₄

    （C₂）～M→Km(<～M>)

（C₃）Km（<C₁>）

（C₄）[I（< C₁∧～M >,< D₄→T >）∧Km（< C₁>）∧Km（<～M >）] →Km（< D₄→T >）

    （C₅）Ks(<C₁∧C₂∧C₃∧C₄>)

    （C₆）[I(<C₁∧……∧C₄>,< D₄→M>)∧Ks(<C₁∧……∧C₄>)]→Ks(<D₄→M >)

    （C₇）Ks（< C₁∧……∧C₆>）

（C₈）[I(<C₁∧……∧C₆>,< ～D₄>)∧Ks(<C₁∧……∧C₆>)]→Ks(<～D₄>)

蒙塔古和卡普兰据此证明了，判决D₄既不可能被执行又必定被执行，亦即推出了以下二式：

C₁∧……∧C₆├ ～D₄

C₇∧C₈├ D₄

他们认为，由此可见，若采纳公式化的D₄即可推出囚徒K与刽子手双方都是正确的。

那么，问题究竟出在何处呢？我们认为，关键性的错误在于，K的认知原则C₄是假的。相应地，C₅— C₈也十分可疑。

说C₄根本不成立，其实并不难以理解。试看：

（C₄）[I（< C₁∧～M >,< D₄→T >）∧Km（< C₁>）∧Km（<～M >）] →Km（< D₄→T >）

先解读其中的I（< C₁∧～M >,< D₄→T >）。实际上，由（1）可推出（2）C₁├ D₄→～Ks(<～D₄>)。这表明，由C₁可知，D₄与Ks(<～D₄>)不可能同时为真，换言之，如果判决为真只能是判决的后两个选言支之一为真。于是，如果C₁成立且周一正午未行刑的话，若判决为真便只能是周二正午行刑。因而，如果K周一下午知道C₁为真（Km（< C₁>））以及周一正午未行刑（Km（<～M >）），便可推知如果判决为真则周二正午行刑，亦即有Km（< D₄→T >）。

现在让我们证明，C₄根本不能成立。

我们仍不妨假定，周二正午K果真被绞死了。那么，K周一下午又会处于何种认知状况呢？显然，K将依然抱着他在周日即已推出的结论——C₁∧……∧C₄├ D₄→～T不放，以为即便判决为真也不会在周二正午行刑。此时，K显然并不知道如果判决为真则周二正午行刑，也就是说，命题Km(<D₄→T >)为假。然而请注意，与此同时，如下三个命题却是真的：Km（<～M >）、Km（< C₁>）（亦即C₃）以及I（< C₁∧～M >,< D₄→T >）。K的认知原则C₄断言，如果后三个命题为真则前一个命题——Km(<D₄→T >)必为真。然而，上述论证却足以表明，即便后三个命题为真，Km(<D₄→T >)也可以为假。由此可见，K所依赖的认知原则C₄不能成立。

如此说来，囚徒K关于D₄为假的论证根本就不可靠。进一步，建立在此一论证基础上的、关于D₄为真的论证自然也不能成立。

事实上，该判决既可以是真的，也可以是假的。由于K的认知结构已定，这实际上将完全取决于刽子手的行为。例如，如果他在周一或周二正午行刑，判决就是真的；如果他根本没有行刑，判决就是假的。

最后，我们仅想附带指出，作为再强化的“刽子手悖论”之“极限”情况（行刑的可能日子之数目缩减至零）的“知道者悖论”也同样源于一个错误的认知原则——（E₃） [I（<E₁>，<～D₅>）∧Ks(<E₁>)]→Ks(<～D₅>)（其中E₁为Ks(<～D₅>)→～D₅，而D₅则代表此种“极限情况”下的判决）。进一步，以E₃为特例的更一般的模式——（S₃）[I(<φ>,<ψ>)∧Ks(<φ>)→Ks(<ψ>)一般而言也并不成立。

注  释

[1]关于这三种版本的“刽子手悖论”以及“知道者悖论”，见R.蒙塔古和D.卡普兰合著的论文 A Paradox Regained（载 Nortre Dame Journal of Formal Logic创刊号）。张建军教授将该文摘译，作为《类说谎者认知悖论》一文的附录，收入他与黄展骥教授合著的《矛盾与悖论新论》（河北教育出版社1998年版）。为方便印刷和阅读，他改变了标准名称符号和某些逻辑常项符号的记法。本文多处引用张建军教授的译文，仅改变了“非”的记法。

[2] R.蒙塔古和D.卡普兰原注：这里所谓“初等语法”是指这样一种一阶理论，它包含（表达式的）所有标准名称，用以表达表达式之间语法关系和它们的运算，以及涉及这些概念的适当公理；再加上特别公式Ks、Km、Kt、M、T和W。这样一种理论的构成当然要依赖于标准名称指派所采用的约定。如果采用上述第二个约定，则初等语法可用（形式化的）Peano算术甚或弱得多的理论 Q（即所谓 Robinson算术）来规定，而在两者之中都需增补上列特别公式。

On Hangman Paradox

ZHANG Tie-sheng

（Institute of Cognitive Sciences, Shanxi Academy of Social Sciences, Taiyuan 030006）

Abstract: This paper clears Hangman paradox. The main conclusions are：1.The judgement includes the prediction about the prisoner’s cognition, therefore the true value of the judgement must depend on the argument of the prisoner. 2. The argument is unreliable. 3. The argument depends on a false cognitive principle. 4.The mistake of the principle is due to mixing reasoning out with knowing.

Keywords: epistemic paradox ; Hangman paradox; Knower paradox

电话:13969848285

电子信箱：zts0351@gmail.com