逻辑学（2005）

陈慕泽

　　逻辑学的总体目标是研究推理和论证。这一总体目标决定了逻辑学发展的主流，决定了逻辑学和其它学科，包括一些相邻学科的界限。逻辑学的这一总体目标，是不会改变的。

　　19世纪中期以来逻辑学所经历了四次重要转向，即数学转向、语言转向、认知转向和非形式转向。这些转向，对数学、哲学、计算机和人工智能以及素质教育的理念和实践产生了重大影响，同时深刻地改变了逻辑学自身的面貌。

　　这里所说的逻辑转向，包括三个意思。第一，促使逻辑学在某一阶段发展的动力，有别于上述总体目标；第二，逻辑学在此种目标转向中，取得了长足的实质性的进展；第三，此种进展不但对实现其转向的目标，而且对实现逻辑学的总体目标有重要的意义。

　　本文探讨其中两次转向，即逻辑的数学转向和语言转向。

　　（一）逻辑的数学转向

　　由17世纪莱布尼兹发端的传统逻辑向数理逻辑的转变，不是这里所说的逻辑的数学转向。作为数理逻辑产生标志的莱布尼兹的通用语言和思维演算的思想，无非是要用数学的工具取代传统的工具，用更精确严格的形式来研究推理和论证，这里没有目标的转向。

　　逻辑的数学转向的目标是数学基础的研究。这一转向开始于19世纪中期，但其根源可以追溯到2000多年前的欧氏几何。

　　欧氏几何是科学史上的第一个公理系统。它有五条公理，其中，第五条公理断定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线和该直线平行。数学家因为这条公理的真理性不太直观而试图把它作为定理从其余四条公理中推出。当直接证明不能奏效时，数学家们用了反证法，即把第五公理的反命题作为一条新的公理，和其余四条公理一起组成一个新的系统（后来称为非欧几何），并设法在其中推出矛盾。结果，非欧几何中推出了三百多条“怪诞”的定理，如“三角形三内角之和大于或小于180”，但就是推不出矛盾。数学家由此考虑，非欧几何是否有可能不矛盾？这时，一个出乎数学家们意料的结论被证明了：欧氏几何(以及自然数算术)与非欧几何在一致性（即不矛盾性）上是等价的！就是说，如果欧氏几何或自然数算术是不矛盾的，则非欧几何也是不矛盾的；如果“怪诞的”非欧几何是矛盾的，则欧氏几何和自然数算术也是矛盾的！而人们构造非欧几何的目的，就是试图证明它的自相矛盾！

　　这样，作为人类智慧杰作的欧氏几何，似乎是天经地义的自然数算术，其作为科学理论的合法性，立刻变得十分可疑。数学家突然认识到：第一，欧氏几何和自然数算术的一致性尚未得到证明；第二，这种一致性必须加以证明，否则，人们就没有理由相信几何与算术的定理为真理，因为，如果这样的系统是不一致的，那么，这些定理的反命题同样是可证的。

　　这是科学发展史上一个多么应当引起重视的亮点！一个科学理论，在研究相关领域客观规律的同时，严格的自我审视原来竟是如此至关重要！

　　1901年，罗素发现了“集合论”悖论，说明素朴集合论是不一致的！这使得试图通过证明集合论一致性来证明上述一系列数学系统一致性的努力落空了。这导致了所谓的第三次数学危机。

　　因此，逻辑的数学转向，就是要用逻辑的方法研究和解决数学基础问题。具体地说，就是要用数理逻辑的工具重新表达和构造数学系统，并证明它们的一致性，以及另外一些重要的元性质。这就是著名的希尔伯特纲领。

　　这是一个巨大的挑战和艰辛的探索。在这一转向中，数理逻辑自身得到了长足的发展而臻于成熟，取得了一系列重大的成果，其中包括著名的哥德尔不完全性定理。哥德尔不完全性定理被认为是可以和爱因斯坦相对论齐名的重大成果。

　　哥德尔不完全性定理包括两个重要结论：

　　第一个结论：算术形式系统（以及一切不弱于算术系统的形式系统）如果是一致的，则这种一致性在系统内是不可证的。

　　一个形式系统的能力，包括它的形式语言的刻划能力和演绎结构的推导能力。所谓不弱于算术系统，就是指这种刻划和推导能力不弱于算术系统。上述结论告诉我们：这样的系统的一致性，即不矛盾性的证明，不可能在本系统内作出，要完成这样的证明，必须使用（至少在某些方面）比本系统更强、更复杂些的工具才有可能。哥德尔在使用有限型泛函法所构造的系统（称为Y系统）中，证明了算术系统的一致性。但这种证明只是相对的。因为Y系统比算术系统更强，因此由哥德尔定理，它的一致性同样在自身内部是不可证的。要证明Y系统的一致性，需要更强的工具。这说明，算术系统一致性的证明，注定是相对的。

　　第二个结论：算术形式系统（以及一切不弱于算术系统的形式系统）如果是一致的，则是不完全的，即存在着一个命题，这个命题和它的否定在系统中都不可证。

　　由排中律，一个命题及其否定中总有一个命题是真的，因此，不完全性是指：并非任何真命题都可证，也就是说，算术系统不可能证明所有的算术真理；一切不弱于算术系统的形式系统不可能证明相关的所有真理。

　　在数理逻辑这段令人眼花缭乱的发展历史和科学成果中，至少以下几点应该引起我国的人文、社会科学工作者，包括马克思主义哲学工作者的注意和思考。

　　第一，一个科学理论，在研究特定的对象世界的同时，应该把审视和研究自身作为本理论的一个组成部分。

　　各门科学理论应当如此，马克思主义哲学似乎也应当如此。事实上，马克思主义哲学体系中，业已包括了一些元哲学的内容，问题在于，这些内容是否应当并且可以形成系统的马克思主义哲学的元理论？如果回答是肯定的，那么，马克思主义哲学的元理论应当包括哪些主要课题？

　　马克思主义哲学的显著特点是具有极强的分析论证能力。这是个优点。这个优点同时又暗含着某种危险。例如，如果我们的理论，可以论证改革开放的合理性，同时也可以论证大跃进和文化大革命的合理性，那么，这说明我们的理论有可能不一致。而不一致的理论就可以证明一切。逻辑学用一个概念来刻画这种能证明一切结论的理论：坍塌。事实上，我们的哲学确实曾经强有力地论证过大跃进和文化大革命，如同它今天用来论证改革开放一样。这难道不足以引起哲学家们的警觉与思考？当然，现在可以说，当时的哲学分析是“唯心主义盛行，形而上学猖獗”；但是，完全可以设想，当时的哲学分析会说现在是“庸俗唯物主义盛行，形而上学猖獗”，问题在于，这种哲学争论的孰是孰非难以依据马克思主义哲学自身加以判定，而往往得依赖哲学之外的力量。这里涉及的，就是深刻而尖锐的马克思主义哲学的元理论问题。

　　数学家们是如此认真严格地关注和论证数学理论的基础，为什么哲学家就不能以同样的态度和视角关注元哲学？

　　第二，一个科学理论，对于说明自身是不够的。

　　算术系统是如此，马克思主义哲学似乎也是如此。例如，“任何事物都将走向自己的反面”（恩格斯语）这一基本原理，就不能说明自身，否则将导致悖论。因此，就从说明和研究自身而言，马克思主义哲学也必须发展和突破自己。或者是否可以这么说，马克思主义哲学的元理论，必然比马克思主义哲学理论体系自身丰富。

　　第三，哥德尔不完全定理说明，数理逻辑是这样一种科学理论和真理形式，它明确揭示和证明自己把握相关真理的能力限度。

　　这里，将合乎逻辑地提出这样的问题：是否所有的科学理论都如同数理逻辑一样，存在并能证明自身把握相关领域中真理的能力限度？如果不是，那就是说，存在着两类科学理论，第一类如数理逻辑，第二类不同于数理逻辑，它具有完全把握相关领域全部真理的能力。这样，紧接着的问题自然是，如何证明这一点？总之，数理逻辑有资格向所有的科学理论提出这样的问题：你是否有能力把握你的研究领域中的所有真理？如果回答是肯定的，那么请证明；如果回答是否定的，那么，你的这种能力的限度在哪里？同样请证明。

　　最后顺便提一下，上文所提到的“怪诞”的非欧几何，最后在微观和宇观世界中找到了自己的模型，而被证明是和欧氏几何一样的科学理论。

　　非欧几何是从哪里来的？是从实践中来的吗？不是。是基于感性经验的吗？也不是。它是如此地违背人们的实践经验和感性直觉，以至人们当初构造它的唯一目的是想证明它的不可能成立。它是在自己的理论形态出现上千年后才找到自己的现实模型。哲学家们应当充满兴趣地在科学的海滩边拾取这些对自己颇具挑战性的贝壳。事实上，这样的贝壳并不少。

　　（二）逻辑的语言转向

　　语言逻辑是逻辑学的一个分支，它的发展不是这里所说的逻辑的语言转向。语言逻辑从语形、语义和语用（语境）的角度分析自然语言，研究自然语言所表达的推理和论证。这里没有目标的转向。

　　从19世纪中期开始，一批对数理逻辑的发展有杰出贡献或在这个领域中有相当造诣的哲学家，最著名的如弗雷格、罗素、维特根斯坦和卡尔纳普，试图运用已经臻于成熟的数理逻辑的工具，通过对语言的精确而严格的逻辑分析，从概念、命题、理论和方法各个层面上澄清充斥于哲学中的歧义、含混和荒谬，并试图用一种全新的方法来阐述哲学。

　　这就是逻辑的语言转向。这种转向，实际上是逻辑学发展过程的一种哲学转向。这一转向的目标，是试图为哲学的精确化提供一个平台，而构造这个平台的工具是现代数理逻辑。这一转向产生了现代西方哲学的一个重要流派，即分析哲学。分析哲学家确信，哲学正处在最后的彻底转变之中；哲学领域内一些无结果的争论终于可以结束了，数理逻辑的方法使得每一个这样的争论在原则上成为不必要；莱布尼兹当年的设想已部分地成为现实：两个哲学家争论不休，数理逻辑学家说，让我们坐下来算一算吧。

　　理解和评价分析哲学的前提是熟悉数理逻辑。为了应对生气勃勃的维也纳学派用数理逻辑公式所提出的哲学挑战，西方传统的哲学界不得不熟悉这门技术性很强的学科。这对逻辑学的主流发展本身是件很有意义的事情。在这点上，中国的情况曾经是个例外。中国的哲学界曾以自己特有的角度和方式拒绝过分析哲学，但与西方的传统学派不同，这种拒绝是基于对数理逻辑的基本无知。

　　分析哲学应当引起关注的真正价值，不在于它的某些具体的哲学见解与结论，而在于它在哲学研究中提倡一种科学精神，在于它所提倡的有别于传统思辨的分析方法。这种分析方法有两个重要特点：第一，它在逻辑上是精确的、严谨的；第二，更重要的是，这种精确与严谨是可判定的。思辨是一种必要的甚至是不可完全取代的哲学方法。但思辨方法的合理性一般地说是不可判定的。即不存在一种无歧义的确定的标准或程序来判定此种合理性。这就是为什么哲学家往往第100次地宣布驳倒了对方，但101次地仍在继续驳斥。

　　可以比较一下由思辨所把握的哲学结论和由分析所论证的哲学结论。

　　例如，“运动着的物体每一瞬间既在这儿又不在这儿”，这一深刻的辩证命题是这样思辨地论证的：运动着的物体此一瞬间在这儿，彼一瞬间在那儿，这只说明运动的结果，没有说明运动的本质。运动的本质就是矛盾，就是既在这儿又不在这儿。论证完了？完了。理解这一论证，依靠人的思辨素养，此外，没有具备可操作性的判定标准。

　　事实上，这一辨证命题存在分析论证的可能性。基于几个确定的定义和可接受性很高的假设，运用集合论的知识，可以证明，空间状态集比时间状态集大一个基数，即物质的空间状态比时间状态多得多。由于物质、空间、时间三者不可缺一而存在，因此，时间状态和空间状态的对应，不是一一对应，而一对多（事实上是一对无穷多）的对应。这就为“运动着的物体每一瞬间既在这儿又不在这儿”、“生长的物体每一瞬间既是它自身又不是它自身”这样的辨证命题提供了一个形式刻划和分析论证。

　　与思辨不同，分析论证的要素即定义、假设和证明都是以明确的可判定的方式表达的。如果你不拒绝这些定义和假设，并且不能指出基于之上的证明何处不成立，那么你就没有理由不接受这一证明的结论。如果你接受这些定义和假设，并且确认基于之上的证明成立，那么你就必须接受这一证明的结论。

　　哥德尔不完全性定理具有极强的哲学意蕴，可以自然地解读为以下两个哲学命题：

　　第一，一个表达能力和推导能力足够强的理论系统，如果是一致的（即不自相矛盾的），那么，此种一致性依据该理论自身不可证。

　　第二，一个表达能力和推导能力足够强的理论系统，如果是一致的（即不自相矛盾的），则是不完全的，即存在与该理论相关的真理，在该理论系统内不可证。

　　这两个结论，是依据分析方法严格证明的。

　　“真理”是哲学认识论的核心概念。“真”和“真理”这两个概念也许不完全相同，但至少密切相关。什么是“真”？如何定义“真”？塔斯基的关于真的理论指出：一个形式正确并且实质恰当的真句子的定义，依据自然语言（例如英语）是无法作出的。依据自然语言来定义“真”，必然导致悖论；上述这样的真句子的定义，依据形式语言才有可能；对每一种有穷阶的形式语言来说，这样的真句子的定义，可以在该语言的元语言中完成；对于无穷阶的形式语言来说，这样的定义是不可能的。

　　上述结论，同样是依据分析严格证明的。

　　哥德尔不完全性定理和塔斯基关于真的理论，被认为是现代数理逻辑的最重要成果。尽管两人不是分析哲学家，但完全有理由认为，他们的杰出成果同时也是分析哲学的成果。 一般地说，合理的思辨属于辩证理性，而分析哲学所倡导的是一种分析理性。分析理性的基础是形式逻辑。中国的传统文化，作为一种有着根深蒂固人治背景的人本文化，所缺少的正是这种分析理性。这种缺失一直影响到当代。在当代中国，哲学曾被严重庸俗化。充斥其中的伪方法、伪问题、伪命题、思辩的滥用和诡辩等，并没有从科学方法论的高度进行过认真的清理。这种庸俗化，有哲学外部的原因，也有哲学发展自身的原因。在这种背景下，在我国加强对逻辑科学特别是现代数理逻辑的重视，加强对西方分析哲学的研究，具有重要的意义。

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